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数学教育故集 |
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| 数学教育故集 |
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作者：佚名 文章来源：来自网络 点击数： 更新时间：2007-2-6 13:18:49  |
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著名数学家苏步青早年留学日本，1931年获得博士学位。日本不少名牌大学以高薪聘请他，但他想到出国留学是为了掌握科学、报效祖国，就一一辞谢，毅然回国。回国后，他在浙江大学执教，竟一连四个月领不到工资，穷得连饭都难以吃饱，而当时日本帝国大学还答应保留他半年的工资。贫贱难移爱国心，苏步青毫无再去日本之意。抗日战争爆发后，日本帝国大学又发来电报，请他前往任教。出于民族大义，他一口回绝道：“我要留在自己的祖国。祖国再穷，我也要为她奋斗，为她服务!”
祖冲之(429-500)的祖父名叫祖昌，在宋朝做了一个管理朝廷建筑的长官。祖冲之长在这样的家庭里，从小就读了不少书，人家都称赞他是个博学的青年。他特别爱好研究数学，也喜欢研究天文历法，经常观测太阳和星球运行的情况，并且做了详细记录。宋孝武帝听到他的名气，派他到一个专门研究学术的官署“华林学省”工作。他对做官并没有兴趣，但是在那里，可以更加专心研究数学、天文了。我国历代都有研究天文的官，并且根据研究天文的结果来制定历法。到了宋朝的时候，历法已经有很大进步，但是祖冲之认为还不够精确。他根据他长期观察的结果，创制出一部新的历法，叫做“大明历”（“大明”是宋孝武帝的年号）。这种历法测定的每一回归年（也就是两年冬至点之间的时间）的天数，跟现代科学测定的相差只有五十秒；测定月亮环行一周的天数，跟现代科学测定的相差不到一秒，可见它的精确程度了。公元４６２年，祖冲之请求宋孝武帝颁布新历，孝武帝召集大臣商议。那时候，有一个皇帝宠幸的大臣戴法兴出来反对，认为祖冲之擅自改变古历，是离经叛道的行为。 祖冲之当场用他研究的数据回驳了戴法兴。戴法兴依仗皇帝宠幸他，蛮横地说：“历法是古人制定的，后代的人不应该改动。”祖冲之一点也不害怕。他严肃地说：“你如果有事实根据，就只管拿出来辩论。不要拿空话吓唬人嘛。”宋孝武帝想帮助戴法兴，找了一些懂得历法的人跟祖冲之辩论，也一个个被祖冲之驳倒了。但是宋孝武帝还是不肯颁布新历。直到祖冲之死了十年之后，他创制的大明历才得到推行。尽管当时社会十分动乱不安，但是祖冲之还是孜孜不倦地研究科学。他更大的成就是在数学方面。他曾经对古代数学著作《九章算术》作了注释，又编写一本《缀术》。他的最杰出贡献是求得相当精确的圆周率。经过长期的艰苦研究，他计算出圆周率在３．１４１５９２６和３．１４１５９２７之间，成为世界上最早把圆周率数值推算到七位数字以上的科学家。祖冲之在科学发明上是个多面手，他造过一种指南车，随便车子怎样转弯，车上的铜人总是指着南方；他又造过“千里船”，在新亭江（在今南京市西南）上试航过，一天可以航行一百多里。他还利用水力转动石磨，舂米碾谷子，叫做“水碓磨”。祖冲之晚年的时候，掌握宋朝禁卫军的萧道成灭了宋朝。
阿基米德是整个历史上最伟大的数学家之一，后人对阿基米德给以极高的评价，常把他和牛顿、高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家。 他大约在公元前287年出身于西西里岛上的希腊城市叙拉古，早年曾在当时希腊的学术中心亚历山大跟随欧几里得的门徒学习，并在那里结识许多同行好友，如科农［Conon of Samos］、多西修斯［Dositheus］、埃拉托塞尼等等。回到叙拉古以后仍然和他们保持密切的联系，因此阿基米德也算是亚历山大里亚学派的成员，他的许多学术成果就是通过和亚历山大的学者通信往来保存下来的。
公元前212年罗马军队攻入叙拉古，并闯入阿基米德的住宅，看见一位老人在地上埋头作几何图形，士兵将图踩坏。阿基米德怒斥士兵：『不要弄坏我的图！』士兵拔出短剑，刺死了这位旷世绝伦的大科学家，阿基米德竟死在愚蠢无知的罗马士兵手里。 他的生平没有详细记载，但关于他的许多故事却广为流传。据说他确立了力学的杠杆定理之後，曾发出豪言壮语：『给我一个立足点，我就可以移动这个地球！』，被誉为『力学之父』。
另一个着名的故事是：叙拉古的亥厄洛王叫金匠造一顶纯金的皇冠，因怀疑里面掺有银子，便请阿基米德鉴定一下。当他进入浴盆洗澡时，水漫溢到盆外，于是悟得不同质料的物体，虽然重量相同，但因体积不同，排去的水也必不相等。根据这一道理，就可以判断皇冠是否掺假。阿基米德高兴得跳起来，赤身奔回家中，口中大呼：『尤里卡！尤里卡』』［希腊语enrhka，意思是『我找到了』］他将这一流体静力学的基本原理，即物体在液体中的减轻的重量，等于排去液体的重量，总结在他的名着《论浮体》［On Floating Bodies］中，后来以『阿基米德原理』着称于世。
《论浮体》更是古代第一部流体静力学着作，是第一次将数学用于流体静力学，阿基米德亦因此被尊为流体静力学的创始人。 阿基米德的着作是数学阐述的典范，写得完整、简练，显示出巨大的创造性、计算技能和证明的严谨性。他对数学的最大贡献，也许是某些积分学方法的早期萌芽。 现存的阿基米德着作中，有三本是讲平面几何的，它们是：《圆的量度》［Measurement of a circle］计算圆内接与外切96边形的周长，求得圆周率π：3 10/71<π<3 1/7、《抛物线的求积》［Quadrature of the Parabola］，确定抛物线与任一弦所围弓形的面积。和《论螺线》［On Spirals］利用一组内接和一组外接的扇形，确定『阿基米德螺线』［利用极坐标方程r = aθ来表示］第一圈与始线所包围的面积等于[π(2πa)]2/3。
现存的阿基米德着作中，有两部是讲立体几何的，即《论球和圆柱》［On the Sphere and Cylinder］及《论劈锥曲面体和球体》［On Conoids and Spheroids］前者包括了许多重大的成就。他从几个定义和公理出发，推出并于球与圆柱面积体积等五十多个命题。 用几何方法解决相当于三次方程 x2(a-x)=b2c 的问题。后者研究几种圆锥曲线的旋转体，以及这些立体被平面截取部份的体积。在引理中给出公式12+22+32+...+n2=[1/6]n(n+1)(2n+1)。《数沙术》［The Sand Reckoner］是现存论术算术的随笔，设计一种可以表示任何大数目的方法，纠正有的人认为沙子是不可数的，即使可数也无法用算术符号表示的错误看法。尚存关于应用数学的有《论平板的平衡》［On plane equilibrium］和《论浮体》。他还设计了一个『群牛问题』，导致二次不定方程x2-4729494y2=1。此外，他还发现13种半正多面体，用边表示三角形面积的『海伦公式』和七边形的作图法。现已公认海伦公式是阿基米德发现的，但这个名称已成为习惯用法。
在数学史方面，现代最惊人的发现之一是丹麦语言学家海伯格［Heiberg］于1906年在土耳其君士坦丁堡发现的阿基米德的长期失传的着作，后以《阿基米德方法》［Method］为名刊行于世。
《阿基米德方法》的中心思想是：要计算一个未知量，先将它分成许许多多的微小量，再用另一组微小量来和它比较，［通常是建立一个杠杆，找一个合适的支点，使前后两组微小量取得平衡。］而后者的总体该是较易计算的。于是通过比较，即可求出未知量来。这实质上就是积分法的基本思想。阿基米德的睿智，业已伸展到17世纪中叶的无穷小分析领域里去了。阿基米德运用这种富有启发性的方法，获得大量的辉煌成果，为后人开辟了一个广阔的领域。 历史上有的数学家勇于开辟新的园地，而缺乏缜密的推理；有的数学家偏重于逻辑证明，而对新领域的开拓却徘徊不前。阿基米德则兼有二者之长，他常常通过实践直观地洞察到事物的本质，然后运用逻辑方法使经验上升为理论［如浮力问题］，再用理论去指导实际工作［如发明机械］。没有一位古代的科学家，像阿基米德那样将熟练的计算技巧和严格证明融为一体，将抽象的理论和工程技术的具体应用紧密结合起来。
希腊哲学家，数学家，天文学家，生于希腊东部萨摩斯［今希腊东部小岛］，卒于他林敦［今意大利南部塔兰托］。 毕达哥拉斯早年曾在锡罗斯岛向费雷西底［Pherecydes］学习，又曾师事伊奥尼亚学派的安约西曼德［Anaximander］， 以后游历埃及、巴比伦等地，接受古代流传下来的天文、数学知识。他最后定居在克罗托内［Crotone］，在那里建立一 个宗教、政治、学术合一的团体──毕达哥拉斯学派，它是继伊奥尼亚学派后古希腊第二个重要的学派。这个团体后来 在政治斗争中遭到破坏，他逃到塔兰托，后终于被杀害。毕氏学派有一个教规，就是一切发现都归功于学派的领袖，且 对外保密，故讨论其学术成就时，很难将毕达哥拉斯本人和他的学派分开。
毕氏学派将抽象的数作为万物的本源，研究数的目的不是为了实际应用，而是通过揭露数的奥秘来探索宇宙的永恒真理 。他们对数作过深入研究，并得到很多结果：将学问分为四类，即算术、音乐［数的应用］、几何［静止的量］、天文 ［运动的量］；根据"简单整数比"原理创造一套音乐理论；将自然数进行分类，如奇数、偶数、完全数、亲合数、三角 数、平方数、五角数、六角数等等；发理勾股定理［西方称为毕达哥拉斯定理］和勾股数［西方称为毕达哥拉斯数］； 发理五种正多面体；发理不可通约量。 无理数成不可通约量的发现，也许是这个学派最重大的贡献，是数学史上重要的 里程碑。但这一发现却和他们的会条相抵触，它不仅推了"每一事物都依赖于整数"这一基本假定，而且因为毕氏学派关于 比例的定义假定了任何两个同类量是可通放的，所以其比例理论中的所有命题都局限在可通约量上，而他们关于相似形的 一般理论也因此失效了。『逻辑上的矛盾』是如此之大，以致于有一段时间，他们费了很大的劲将此事保密，不准外传。
大约在公元前 370年，这个"矛盾"被毕氏学派晚期的重要成员 阿尔希塔斯的学生，杰出的 欧多克斯通过给比例下新定义的 方法解决了。
传说他是一个非常优秀的教师，他认为每一个人都该懂些几何。有一次他看到一个勤勉的穷人， 他想教他学习几何，因此对此人建议：如果这人能学懂一个定理，那麽他就给他一块钱币。这个 人看在钱份上就和他学几何了，可是过了一个时期，这学生对几何却产生了非常大的兴趣，反而 要求毕达哥拉斯教快一些，并且建议：如果老师多教一个定理，他就给毕达哥拉斯一个钱币。不 需要多少时间，毕达哥拉斯把他以前给那学生的钱全部收回了。
毕达哥拉斯是死在意大利科多拿城里，在一场城市暴动中，他被人暗杀掉。他的坟墓现仍在意大 利的这个古山城中，这坟墓就像中国的馒头式坟。二千多年过去了，这坟还保留下来，可见人们 对这学者的重视。 毕达哥拉斯死后，这个学派还继续存在两个世纪之久。他的思想和学说对希腊文化有巨大的影响。
笛卡儿生在一个富有律师的家庭，自幼身体柔弱，父母允许他在床上作功课，久而久之就形成习惯， 之后，他一辈子都是这样。20岁毕业于Poityers 大学法律系，之后，前往巴黎跟Mydorde和Mersenne 学了一年数学，由于解决了荷兰Bredas广告牌上的一道难题，而信心大增，从此认真学习数学、研究 数学。 他由哲学家、自然界、科学应用来看数学，他认为数学的伟大在于其证明所依据的公理是无缺点的， 数学是获得确定和有效证明的方法，而且数学是形而上的。
他说：「数学是人类知识活动留下来最具 威力的知识工具，是一些现象的根源。数学是不变的，是客观存在的，上帝必以数学法则建造宇宙。」 笛卡儿说：「希腊几何太过抽象，他只是用来训练了解，使想像力大为疲劳的工具罢了！而代数太过 于遵守原则和公式，计算过于繁杂，不是一门改良心智的科学。」 所以他把代数应用到几何，在西元1637年，他写了一本几何学(LAG'eom'etrie)。该书难懂，他吹牛说欧 洲少有数学家可以看懂它，他对作图和说明只起头，而将过程留给读者自证，他说他的书如同建筑师一 样，把计画和设计图铺好，其它的琐事留给泥水匠和工人。 他为了让几何问题有一定的思考发法，发明了坐标几何。基于坐标，几何图形可以被表示为坐标之间的 运算关系，几何问题也就变成解方程式的问题了。
他研究巴伯斯(Pappus)所提出："求平面上一动点ｃ的 轨迹"的四线问题时，引入了坐标的观念，考虑动点，它到这四条线的距离dn，n=1,2,3,4，若满足kd1d2 =d3d4，k是常数，则这些动点的轨迹如何？前人只能就某些特殊相对位置的四条直线求解,但是笛卡儿说 引进坐标的dn是一次式，而kd1d2=d3d4则为动点坐标的二次方程式，所以轨迹是一圆锥曲线。 值得一提的是，当时笛卡儿或者费玛所提出的坐标都只考虑正数，而且并不是先定好两轴，是以一直线 和一固定的夹角为已知，并不需要先画出ｙ轴即可描述点的位置。由他所设的坐标系，笛卡儿导出动点 轨迹的方程式，他并将不同的曲线放在同一个参考轴上，利用解联立方程式来求它们的交点。 除此之外，笛卡儿经由坐标几何的发展，赋予了几何曲线更宽广的空间。这点可以从古希腊的几何谈起 。古时希腊的几何多以图形为主，他们把曲线分为立体曲线、平面曲线、线性曲线三种；立体曲线即圆 锥曲线，平面曲线即能以直尺和圆规作出来的图形，其他的皆为线性曲线，线性曲线被认为不能登大雅 之堂。
笛卡儿不同意希腊人对线性曲线的观点，他首创几何曲线是能以唯一的ｘ、ｙ之有限次方程式表 示的曲线，对于任意一个ｘ、ｙ的方程式，都可以画出它的图形，由此他开拓了一个新的研究领域，对 于一些以前不被接受的几何曲线赋予了新的意义。 西元1649年，被邀请担任瑞典皇后Christina的家教，1650年死于肺炎。
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